PRESENTAZIONE DI FIBONACCI E DELLA SUA SEQUENZA:

BIOGRAFIA DI LEONARDO FIBONACCI
Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci, nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile a partire dal 1192 del commercio pisano presso la colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa. In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste regioni. Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali composizioni matematiche. In tutta la sua produzione l’opera più importante è il "Liber abaci", comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti. La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II gli chiese un’udienza mentre era Pisa nel 1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa. Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che esiste un’intera pubblicazione dedicata a questi argomenti: il "Fibonacci Quarterly", periodico matematico dedicato interamente all’aritmetica connessa alla sequenza di Fibonacci.

PRESENTAZIONE DELLA SERIE DI FIBONACCI
Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due numeri precedenti (0,1,1,2,3,5,8,13,21…).Nella seconda metà del diciannovesimo secolo, un matematico francese di nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale sequenza prendendo come valori di partenza 2 e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta come la sequenza di Lucas. Quest’ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti. Johannes Kepler notò poi che facendo il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre più a 1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo.

LA SERIE DI FIBONACCI COME SUCCESSIONE RICORRENTE
Consideriamo la seguente successione numerica

in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti; cioè per ogni n maggiore di 2,

Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, s’incontrano di frequente in matematica e sono chiamate successioni ricorrenti.

In aggiunta alla condizione (2), per determinare i termini di una successione ricorrente è indispensabile conoscerne i primi due; procedendo in tal modo è possibile raggiungere termini di indice arbitrariamente grandi e determinarli. La sequenza di Fibonacci descritta in precedenza è proprio un esempio di successione ricorrente in cui u₁ = u₂ = 1 ed i suoi termini, aventi una notevole gamma di proprietà e applicazioni, sono detti numeri di Fibonacci.

APPLICAZIONE DEI NUMERI DI FIBONACCI ALLA MATEMATICA E ALLE ALTRE AREE:
I numeri di Fibonacci hanno una innumerevole gamma di applicazione, soprattutto in matematica ma anche in altre aree, quali la biologia, l'architettura, l'economia e l'informatica. Ci concentreremo ora soprattutto sulla matematica, quindi sull'economia e sull'informatica.

MATEMATICA
I NUMERI DI FIBONACCI NEL TRIANGOLO DI PASCAL (BINOMIO DI NEWTON)
Ci accingiamo a determinare una relazione fra i numeri di Fibonacci ed altri numeri, non meno notevoli, i cosiddetti coefficienti binomiali. Determineremo ora alcune delle leggi che mettono in relazione questi numeri fra loro. Disponiamo i coefficienti binomiali nel seguente schema triangolare, il cosiddetto triangolo di Pascal:

cioè

le linee oblique congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le diagonali ascendenti del triangolo di Pascal. Esempi di tali diagonali sono appunto le linee passanti per i numeri 1, 4, 3 e 1, 5, 6, 1. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data diagonale ascendente è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono formate dal solo numero 1.

SOMMA DI NUMERI DI FIBONACCI
Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...

Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma

( A+B+C+1 = E )

Esempi:

1+1+2+3+5+1 = 13

In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233
In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.

Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati è un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza.

Esempi:

3²+5²=34
In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.

8²+13²= 233

In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.

MASSIMO COMUN DIVISORE DEI NUMERI DI FIBONACCI
Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostriamo come si determina il massimo comun divisore di due numeri a e b, facenti parte della serie di Fibonacci. Dividiamo a per b ottenendo per quoziente q e per resto r. Ovviamente:

a = bq + r e 0<r<b

Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci:

6765 = 610 x 11 + 65

610 = 55 x 11 + 5

55 = 5 x 11

Il fatto che il massimo comun divisore di questi due numeri di Fibonacci sia ancora un numero di Fibonacci, il 5, non è pura coincidenza.

ECONOMIA
I NUMERI DI FIBONACCI E LA BORSA DI MILANO
Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da Leonardo Fibonacci da Pisa, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98.

INFORMATICA
I NUMERI DI FIBONACCI NEL PROCESSORE PENTIUM
I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi.