TEOREMA DI CARNOT

In ogni triangolo la misura del quadrato di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’ angolo tra essi compreso.

La dimostrazione di questo enunciato si ricava facendo riferimento al teorema delle proiezioni, secondo il quale:

a = c cos ß + b cos   g

b = a cos  g + c cos  a

c = b cos a + a cos ß

Moltiplichiamo rispettivamente a, b, c per a,-b,-c

a2 = ac cos ß + ab cos g

-b2= -ab cos g – bc cos a

-c2= -bc cos  a – ac cos ß

Sommando le tre uguaglianze membro a membro otteniamo

a2-b2-c2= -2bc cos a

da cui

a2= b2 + c2 –2bc cos a

Nell'ipotesi in cui un angolo, per esempio a, sia congruente a 90°,rientreremmo nell'ipotesi del
Teorema di Pitagora e si avrebbe:

a2= b2 + c2 - 2bc cos90°

ma poiché cos90° = 0 , risulta:

a2= b2 + c2  

Di conseguenza il teorema di Carnot può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora.