Dimostrazione dagli "Elementi di Euclide"

Sia (ABC) il triangolo rettangolo dato con base AB (ipotenusa); costruito sul cateto minore AC il quadrato (ACDE) e sul cateto maggiore CB il quadrato (CBGF), si vuol dimostrare che il quadrato dell’ipotenusa (ABNL) è equivalente alla somma degli altri due.

Condotta dal vertice C la perpendicolare CH all’ipotenusa AB, si prolunghi CH stessa fino ad incontrare in M il lato NL di (ABNL).

Il segmento HM divide il quadrato (ABNL) nei due rettangoli (ANMH), (HLMB). Per il primo teorema di Euclide, il rettangolo (ANMH) è equivalente al quadrato (ACDE) e il rettangolo (HLMB) è equivalente al quadrato (CBGF). Sommando membro a membro, si ottiene:

A×(HMNA) + A×(HBML) = A×(ACDE) + A×(CBGF).

Infatti, se si uniscono E con B e C con N e si confrontano i triangoli (EAB) e (CAN); risulta che essi sono congruenti per il I° criterio di congruenza (AN = AB per ipotesi; EA = AC per ipotesi; EAB = CAN per somma di angoli congruenti). Il quadrato (AEDC) ha la stessa base EA e la stessa altezza CA di (EAB), per cui A×(AEDC) = A×(EAB); il rettangolo (ANMH) ha la stessa base AN e la stessa altezza AH di (ACN), quindi A×(ANMH) = A×(ACN).                                                                   

Dato che (ACN) = (EAB), anche A×(AEDC) = A×(ANMH) per la proprietà transitiva delle relazioni di congruenza e di equivalenza.                                                                                                        

Poiché la somma dei due rettangoli (AHNM) e (HBLM) dà il quadrato dell’ipotenusa, si può scrivere: 

A (ABNL) = A (ACDE) + A (CBGF).

Resta effettivamente provato che il quadrato dell’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti.