Dimostrazione dei pitagorici.
Sia dato un triangolo
rettangolo: si indichino i cateti con c1
e c2 e l’ipotenusa con i.
Si costruiscano due quadrati uguali (ABCD) e (EFGH) aventi per lato c1+c2.
Si prendano su AB un punto I e su AD un punto L tali che sia AI = AL = c1, e da I e da L si traccino le perpendicolari ai lati ai quali tali punti appartengono. Il primo quadrato (ABCD) risulta così diviso in due rettangoli, ciascuno doppio del triangolo dato, ed in due quadrati aventi uno per lato c1 e l’altro c2.
Nel secondo quadrato (EFGH) si prendano quattro punti M su EF, N su FG, O su GH e P su EH tali che sia EM = FN = GO = HP = c1. Unendoli si ottiene il quadrato (MNOP) (perchè formato da quattro lati congruenti all'ipotenusa del triangolo dato e da quattro angoli retti perchè supplementari degli angoli (EPM) ed (EMP)) e pertanto (EFGH) risulta diviso in quattro triangoli rettangoli uguali al triangolo dato ed in un quadrato avente per lato l’ipotenusa i.
Sottraendo dal quadrato (ABCD) i quattro triangoli aventi per cateti c1 e c2 si ottiene la somma dei quadrati di lati c1 e c2 e sottraendo dal quadrato (EFGH) gli stessi quattro triangoli si ottiene il quadrato di lato i; ma differenze di poligoni uguali sono congruenti, quindi il quadrato costruito sull’ipotenusa i è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti c1 e c2.