Dimostrazione con trapezio

Dato il triangolo (ADC) rettangolo in C, si costruisca un trapezio prolungando il cateto maggiore b (base) di un segmento di pari lunghezza che costituirà la base di un altro triangolo rettangolo (BCD) con il cateto minore a (altezza) coincidente con quello del triangolo di partenza; quindi si prolunghi CD verso l’alto di un segmento di lunghezza b che costituisca l’altezza di altri due triangoli rettangoli di base a (DEF) e (DFG) -F e D sono comuni, come ai due triangoli di partenza sono comuni D e C-.
Si congiunga infine E con A e G con B. Evidentemente:

Area del trapezio = Somma delle aree dei 6 triangoli

Saranno rettangoli anche i triangoli isosceli con cateto C, poiché se la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è = 180° e l’angolo compreso tra a e b è sicuramente = 90°, allora anche l’angolo tra b e c + l’angolo tra a e c =90°. Considerando l’angolo piatto compreso tra b e a, apparirà allora evidente che anche l’angolo compreso tra i due segmenti = c misura 90°.

Utilizzando le rispettive formule per le aree, si completa la dimostrazione:

½ (2a + 2b)(a + b) = 1/2ab + 1/2ab + 1/2ab + 1/2ab + 1/2c² + 1/2c²
½ (2a² + 4ab + 2b²) = 4(1/2ab) + 2(1/2c²)
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²