A cura di Matteo Fumagalli

Rassegna dei risultati ottenuti dai Greci.
I Greci ottennero risultati importanti nello studio della matematica,e quando quest'ultimo fu ripreso dagli Europei, dopo interpolazioni di minor importanza dovute agli Hindu e agli Arabi,venne completato in maniera determinante.
Ai Greci viene attribuito il merito di aver reso astratta la matematica. Questo contributo fondamentale ha un significato e un valore incommensurabile, perchè il fatto che lo stesso triangolo astratto o la stessa equazione algebrica possano essere usati in centinaia di situazioni fisiche diverse si è rivelato il segreto della potenza della matematica.
I Greci insistettero sull’importanza della dimostrazione deduttiva e anche questo fu un passo avanti di portata straordinaria. La decisione di richiedere dimostrazioni deduttive è in completo contrasto con i metodi che l’uomo aveva utilizzato in tutti gli altri campi, anzi, è quasi irrazionale perchè anche l’esperienza, l’induzione, il ragionamento per analogia e la sperimentazione possono fornire conoscenze di cui ci si può tranquillamente fidare. Si accorsero anche che, per giungere alla verità, bisognava partire da verità e assicurarsi inoltre che non venisse assunto alcun fatto che non fosse stato verificato...Di conseguenza enunciarono esplicitamente tutti i loro assiomi e adottarono la prassi di elencarli all’inizio delle loro opere in modo che potessero venir esaminati criticamente.
I Greci dettero anche prova di una sofisticatezza che sarebbe stato difficile aspettarsi e di un’acutezza di pensiero fuori dal comune. La loro capacità di intuire teoremi e dimostrazioni è attestata dal gran numero di essi trattati nei manuali di geometria pervenutici (es."Elementi" di Euclide;" Sezioni coniche" di Apollonio).
Il contributo dei Greci ai contenuti della matematica - la geometria piana e solida, la trigonometria piana e sferica, gli inizi della teoria dei numeri, l’estensione dell’aritmetica e dell’algebra babilonesi ed egiziane - è immenso, soprattutto se si pensa al numero esiguo di persone che vi si dedicavano e ai pochi secoli di attività intensa.
Un contributo ugualmente importante, fonte di ispirazione per tutte le generazioni successive, fu la concezione della natura. Essi andarono abbastanza avanti nella razionalizzazione della natura da stabilire saldamente la convinzione che l’universo obbedisce a un disegno matematico risultando così controllabile, soggetto a leggi certe e comprensibile all’uomo.

I limiti della matematica greca.
Nonostante le sue meravigliose realizzazioni, la matematica greca aveva delle incrinature. I suoi limiti stanno a indicare le vie del progresso che dovevano ancora essere percorse.
Il primo limite è la sua incapacità di cogliere il concetto di numero irrazionale. Questo significava non soltanto una restrizione dell’aritmetica e dell’algebra, ma anche un volgersi di preferenza verso la geometria, perchè il pensiero geometrico evitava di confrontarsi esplicitamente con l’irrazionale come numero. La prevalente attenzione rivolta alla geometria alterò la visione delle generazioni successive mascherando l’intima corrispondenza esistente fra operazioni e concetti geometrici e aritmetici. L’incapacità di definire, accettare e concettualizzare l’irrazionale come numero portò alla distinzione fra numero e grandezza e di conseguenza l’algebra e la geometria vennero considerate discipline totalmente prive di legami fra loro.
La restrizione della matematica rigorosa alla geometria portò ad un altro svantaggio: a mano a mano che la matematica si estendeva, l’uso dei metodi geometrici condusse a dimostrazioni sempre più complesse, soprattutto nel campo della geometria solida. Inoltre si evidenzia nelle dimostrazioni più semplici la mancanza di un metodo generale, come ora appare chiaro a noi che conosciamo la geometria analitica e il calcolo infinitesimale.
I Greci non si limitarono però soltanto a restringere la matematica entro i confini della geometria, ma costrinsero anche quest’ultima a confinare la sua attenzione alle figure che potevano essere ottenute a partire dalla retta e dal cerchio. Ricordiamo che i Greci accettavano solo ciò che era chiaro e sembrava essere vero, ed erano portati a rifiutare tutto ciò che non era immediatamente chiaro alla mente (numeri irrazionali). La matematica greca portava in sé i germi della propria morte: l’angustia del suo campo d’azione, l’esclusività del suo punto di vista e le esigenze estetiche molto stringenti.
I Greci non riuscirono a capire l’infinitamente grande, l’infinitamente piccolo e i procedimenti infiniti. Ciò è dovuto alla concezione dei Greci che associava ai canoni di bellezza e perfezione solo gli enti limitati e finiti.

I problemi lasciati irrisolti dai Greci.
Le limitazioni del pensiero matematico greco indicano quasi automaticamente i problemi che i Greci lasciarono alle successive generazioni.
Senza dubbio, l' incapacità di accettare l’irrazionale come numero lasciò aperta la questione di decidere se si potesse assegnare un numero ai rapporti incommensurabili, in modo che fosse possibile trattarli algebricamente. La necessità di una fondazione logica del sistema numerico venne resa impellente dal libero uso che gli Alessandrini facevano dei numeri, compresi gli irrazionali, portando così avanti le tradizioni empiriche degli Egiziani e dei Babilonesi. Così i greci lasciarono in eredità due rami della matematica profondamente diversi e sviluppati in modo disuguale: da un lato, c’era la geometria rigorosa, deduttiva e sistematica, dall’altro l’aritmetica euristica ed empirica e la sua estensione all’algebra.
Inoltre il fatto di considerare in geometria solo quelle figure ottenute tramite rette e cerchi lasciò ai matematici il compito di ampliare i criteri di esistenza, per costruire tutte le figure che non vengono trattate nella geometria euclidea.
L’impossibilità di concepire l’infinito portava ad una serie di problemi: la difficoltà nell’enunciare il concetto di parallelismo; il concetto di retta; e la decisione se lo spazio fisico sia finito o infinito.
Un altro problema lasciato irrisolto fu quello del calcolo delle aree limitate da curve e dei volumi limitati da superfici. Per evitare il problema, i Greci utilizzavano il metodo di esaustazione, ma esso era difettoso poichè ogni problema richiedeva l’utilizzo di schemi ingegnosi e inoltre il risultato risultava approssimato.
Un altro problema irrisolto sta nei rapporti incommensurabili, espressi nella matematica moderna dai numeri irrazionali, ovvero quei rapporti non misurabili assieme (in relazione ad un'altra grandezza), cioè privi di un sistema di misura comune: due grandezze omogenee sono incommensurabili se non esiste alcun multiplo di un sottomultiplo dell'una che sia eguale all'altra (es.: lato e diagonale di un quadrato, diametro e circonferenza, ecc.)
Per la risoluzione di tali problemi dovremo aspettare Dedekind e Cantor: il primo diede definitiva sistemazione alla teoria dei numeri irrazionali; introdusse la formula del postulato della continuità della retta, si occupò di integrali euleriani, di equazioni algebriche e di funzioni ellittiche. Il secondo celebre soprattutto per gli studi sulla teoria degli insiemi e sul concetto di infinito. Per i loro studi sulla teoria dei numeri, degli ideali e per le ricerche, si possono considerare due dei fondatori dell'algebra moderna.